【NOIP 2012】Day2 T1 同余方程

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洛水·锦依卫 1月 25, 2019

【NOIP 2012】Day2 T1 同余方程

题面

题目描述

求关于$x$的同余方程$ax≡1(\%b)$的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式:

一行,包含两个正整数 $a,b$,用一个空格隔开。

输出格式:

一个正整数$x_0$ ,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入输出样例

输入样例#1:
3 10
输出样例#1:
7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据,$2≤b≤1,000$;

对于 60%的数据,$2 ≤b≤ 50,000,000;$

对于 100%的数据,$2≤a,b≤2,000,000,000。$


题解


思路

$Exgcd$,但是注意事项有二

  • 不能使用其他逆元求法,因为不满足b为质数
  • 注意题目要求为最小整数解

首先转换题面,同余方程$ax≡1(mod\,b)$如何转换呢?你会发现$ax\,mod\,b$可以写成$by+c=ax$那么根据题目中的要求我们可以得到如下式子:

那么怎么转换成 $Exgcd$?由于题目中给出了必定有解,可以考虑证明当$ax+by=c$的时候,若$c$!=$gcd(a,b)$是否有解。显然我们应该证明当$ax+by=c$,有如下:

所以有

因为题目中都为整数,所以$\frac{c}{gcd(a,b)}$必定为整数,换而言之,$gcd(a,b)|c$。

那么,题目中的$c=1$。能整除$c$的整数只有$1$。所以得出结论,因为$gcd(a,b)|c\ \ $,所以题目中的$gcd(a,b)$必定为$1$,即$a,b$互质,否则无解。

那么$ax+by=1$转化为$ax+by=gcd(a,b)$,扩展欧几里得即可。那么要求$x$最小呢?对$b$取模即可。因为已知$ax\,mod\,b=c$,那么必定有$a(x-b)\,mod\,b=c$

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a,b,x,y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-(a/b)*y;
    return d;
}
int main()
{
    freopen("1082.in","r",stdin);
    freopen("1082.out","w",stdout);
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b,x,y);
    cout<<(x%b+b)%b;
}